引擎 #12 · 竖直圆周:绳与杆

题目

长 L = 0.5 m 的轻绳一端固定于 O 点,另一端系质量 m = 0.5 kg 的小球, 使小球在竖直平面内做圆周运动,g 取 10 m/s²,不计空气阻力。
(1) 求小球恰好能通过最高点时,最高点的速度大小;
(2) 此情形下,求小球经过最低点时的速度大小和绳的拉力;
(3) 若把轻绳换成轻杆,小球恰好能通过最高点的条件变成什么?为什么?

※ 改编自近三年高考竖直面圆周运动计算大题(绳/杆模型,多省卷高频)。

先想一想,再动手

绳系小球转竖直圆周。要通过最高点,小球在最高点的速度最小可以是——

🔒 提交预测后,下方实验台才会解锁

实验台

最低点速度 v_底 5.00 m/s

绳/杆长 L 0.50 m

连接方式轻绳

竖直圆周(绳松脱后小球红色抛体脱轨 —— 这是纸面上画不出来的瞬间)

绳拉力 / 杆作用力 F 随位置角 θ 的变化(θ 从最低点起算;F<0 = 杆在"推")

结果判定

–

最高点速度 v_顶

– m/s

最低点受力 F_底 = mv²/L + mg

– N

最高点受力 F_顶 = mv²/L − 5mg

– N

解释

最高点的向心力由重力和绳拉力共同提供,而绳只能拉、不能推: mg + T = mv²/L, T ≥ 0 → v顶 ≥ √(gL) "恰好通过"就是 T = 0、重力恰好全部充当向心力:v顶 = √(gL) = √5 ≈ 2.2 m/s。再慢一点,需要的向心力比重力还小,绳帮不上忙(它不能往外推),小球提前离开圆轨道做抛体 —— 实验里那条红色轨迹就是这道题所有错误答案的下场。
第 (2) 问:机械能守恒 ½mv底² = ½mv顶² + mg·2L: v底 = √(5gL) = 5 m/s, T底 = mv底²/L + mg = 6mg = 30 N 第 (3) 问:杆能拉也能推,最高点速度可以一路小到 0 —— 恰好通过的条件变成 v顶 = 0,即 v底 = √(4gL) ≈ 4.5 m/s。下方 F–θ 图里,杆模型的 F 可以潜入负半轴(推),绳模型在 F = 0 处就"断供"了。

变式追问(绳杆同速对决):把 v底调到 4.5 m/s —— 绳模型:半路松脱、红色抛体脱轨;切到杆模型再跑:同样的速度,稳稳过顶。一根"能不能推"的差别,4.5 m/s 恰好卡在两个临界(4.47 与 5)之间。先猜再验证。