引擎 #25 · 三角函数图像(2021 新高考Ⅰ卷)

题目

函数 f(x) = 7 sin(x − π/6)。判断:区间 (0, π/2) 是否是 f(x) 的单调递增区间? 并写出包含它的最大递增区间。

※ 2021 年新高考Ⅰ卷第 4 题(原题函数)。y=A sin(ωx+φ) 的图像与性质:近五年年年考。

先想一想,再动手

把 y = 7sin x 的 φ 从 0 改成 −π/6(即 f = 7sin(x−π/6)),图像会——

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实验台

振幅 A 7.0

角频率 ω 1.0

初相 φ -30°

f(x) = A·sin(ωx+φ)(浅虚线 = 基准 sin x;绿色区带 = 递增区间;红框 = 原题区间 (0, π/2))

周期 T = 2π/ω

–

含 0 附近的最大递增区间

–

原题区间 (0, π/2) 判定

–

相位平移(相对 sin ωx)

–

解释

f(x) = 7sin(x − π/6) 是 7sin x 向右平移 π/6:x 要多走 π/6,相位才追平。递增区间解不等式: −π/2 + 2kπ ≤ x − π/6 ≤ π/2 + 2kπ ⟹ −π/3 + 2kπ ≤ x ≤ 2π/3 + 2kπ k=0 时递增区间是 [−π/3, 2π/3],原题区间 (0, π/2) 完全落在里面 —— 判定"是" ✓。振幅 A 只拉伸高度,不改变单调区间;ω 缩放周期(T=2π/ω),会把区间挤窄。

变式追问:把 ω 拖到 2 —— 周期减半,(0, π/2) 还全是递增吗? (递增区间变成 [−π/6+kπ, π/3+kπ],(0,π/2) 已经装不下 —— 判定翻红。)