引擎 #17 · 四摆共架(2025 四川 T5)

题目

甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上,从左至右摆长依次增加, 静止在竖直平面内。将四球垂直纸面向外拉起一小角度,由静止同时释放,均做简谐运动。当小球甲完成 2 个周期时,小球丙恰好到达与甲同侧最高点, 同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。求四摆的周期比与摆长比,并判断: 甲第一次回到释放位置时丙的加速度是否为零?丁第一次回到平衡位置时乙的动能是否为零?

※ 2025 年四川卷第 5 题(原题条件;本页把选择题变成可拖动验证的仿真)。

先想一想,再动手

先猜最关键的一对:丙的摆长是甲的 4 倍。甲完成 2 个周期时,丙完成几个周期?

🔒 提交预测后,下方实验台才会解锁

实验台

甲的摆长 L₁(其余按题设比例 16/9、4、16) 0.25 m

释放摆角 θ₀ 5 °

四摆同屏(垂直纸面的摆动画成左右摆;t = 2T甲时刻定格判定)

四摆位移-时间曲线(同一根竖直线上比相位 —— 高考判位置就靠它)

周期比 T甲:T乙:T丙:T丁

3 : 4 : 6 : 12

摆长比 L甲:L乙:L丙:L丁

9 : 16 : 36 : 144

t = 2T甲时四摆位置判定

–

数值周期 T甲(对账小角近似)

– s

解释

单摆周期只认摆长和重力加速度,与质量、(小角度下的)摆角无关: T = 2π√(L/g) → L 比 4 ⇒ T 比 2 由题设反推(t* = 2T甲):丙回到同侧最高点 ⇒ 丙恰完成整数周期,且 T丙>T甲 ⇒ 丙完成 1 个 ⇒ T丙 = 2T甲 ⇒ L丙 = 4L甲; 乙、丁到对侧最高点 ⇒ 完成"整数+半"个周期 ⇒ 乙完成 1.5 个(T乙 = 4/3·T甲)、丁完成 0.5 个(T丁 = 4T甲,L丁 = 16L甲)。 T甲:T乙:T丙:T丁 = 3:4:6:12, L 比 = 9:16:36:144 两个判断:甲第一次回释放位置(t = T甲 = T丙/2)时,丙在对侧最高点 —— 加速度最大,不为零;丁第一次回平衡位置(t = T丁/4 = T甲)时, 乙走过 3/4 周期,恰在平衡位置 —— 动能最大,不为零。

变式追问:把摆角 θ₀ 拖到 10° 再跑 —— 读数栏的数值周期会比 2π√(L/g) 略长约 0.2%(对账栏能看到误差爬升):这就是"小角度近似"的边界, 也是实验室测重力加速度时摆角要小的原因。