引擎 #31 · 抛物线焦点与准线(2023 全国乙卷)

题目

抛物线 y² = 2px(p>0),焦点 F(p/2, 0),准线 x = −p/2。题面取 p=2(y²=4x),P 是抛物线上纵坐标为 y₀=2 的点。问:|PF| 是多少?为什么不用两点间距离公式也能立刻算出来?

※ 蓝本:2023 年全国乙卷第 13 题(焦半径/焦点弦)。焦半径公式 |PF| = x₀ + p/2;y₀=2 时 x₀=1,|PF|=2。

先想一想,再动手

P 在抛物线上滑动时,|PF|(到焦点)和 d(到准线的垂直距离)是什么关系?

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实验台

焦参数 p 2.0

P 的纵坐标 y₀ 2.0

y²=2px:红尺=|PF| · 绿尺=到准线距离 d(拖 y₀ 看两把尺永远同长)

|PF|(两点距离,数值)

–

到准线距离 d = x₀ + p/2

–

P 的坐标 (x₀, y₀)

–

焦点 F · 准线

–

解释

抛物线的定义:到焦点的距离等于到准线的距离的点的轨迹(离心率 e=1)。所以量 |PF| 根本不用勾股: |PF| = d = x₀ + p/2(焦半径公式) 题面 y₀=2, p=2:x₀ = y₀²/(2p) = 1,|PF| = 1 + 1 = 2。验算:F=(1,0),P=(1,2),距离 √(0²+2²)=2 ✓ —— 定义把一道距离题变成一次加法。

这也是焦点弦结论的来源:过焦点的弦 AB 有 |AB| = x_A + x_B + p, 高考小题里"过焦点、给横坐标、求弦长"的题,全部走这条捷径。

变式追问:把 y₀ 拖到 0(顶点)—— 两把尺同时缩到最短 p/2,焦半径最小值就是顶点; 把 p 拉大 —— 抛物线变"胖",焦点与准线同时后撤,等距关系纹丝不动。