引擎 #22 · 正态分布(统计必考)

题目

对某物理量做 n 次测量,测量结果 X 服从正态分布 N(10, σ²)(σ = 1)。 (1) 求测量结果落在 (μ−σ, μ+σ) 内的概率;(2) 落在 (μ−2σ, μ+2σ) 内的概率; (3) 要减小误差(让结果更集中),应设法减小哪个参数?

※ 2021 年新高考Ⅱ卷正态分布情境;近五年统计必考(3σ 法则)。数值第二路径 = Box-Muller 蒙特卡洛。

先想一想,再动手

测量结果落在 μ±σ(一个标准差)之内的概率,大约是——

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实验台

均值 μ 10.0

标准差 σ 1.0

区间半宽(几个 σ) 1.0σ

蒙特卡洛样本数 M 20000

钟形曲线 + 区间着色(理论)vs 样本直方图(蒙特卡洛)—— 直方图会"长成"曲线的形状

理论概率 P(μ±wσ)

–

蒙特卡洛频率

–

3σ 法则速查

68.27% / 95.45% / 99.73%

样本均值(应≈μ)

–

解释

正态分布只有两个旋钮:μ 定位置(曲线平移),σ 定胖瘦(集中程度)。经验法则(3σ 法则): P(μ±σ)≈68.27%,P(μ±2σ)≈95.45%,P(μ±3σ)≈99.73% 与 μ、σ 的具体数值无关 —— 拖动 μ、σ 再抽样,这三个数纹丝不动, 因为标准化 Z=(X−μ)/σ 后所有正态都是同一条曲线。第 (3) 问:减小 σ(多次测量取平均正是这么干的:均值的 σ 缩小为 σ/√n)。

变式追问:把 M 从 1000 拖到 100000,直方图和曲线的贴合度怎么变? (统计涨落 ∝ 1/√M —— 又是大数定律。)