引擎 #20 · 投篮接力(2023 新课标Ⅰ卷)

题目

甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投, 若未命中则换为对方投。无论之前情况如何,甲每次投篮命中率均为 0.6, 乙每次命中率均为 0.8。由抽签决定第一次由谁投篮,甲、乙被抽到的概率各为 0.5。
(1) 求第 2 次投篮的人是甲的概率;
(2) 求第 i 次投篮的人是甲的概率 p_i;
(3) 前 n 次投篮中,求甲投篮次数的期望 E(Y)。

※ 2023 年高考新课标Ⅰ卷第 21 题(原题数值)。数学引擎的"数值第二路径" = 蒙特卡洛模拟,对账阈值按大数定律随模拟局数收敛。

先想一想,再动手

投了很多很多次之后,"第 i 次由甲投篮"的概率会趋近于——

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实验台

甲命中率 p_甲 0.60

乙命中率 p_乙 0.80

首投是甲的概率 p₁ 0.50

蒙特卡洛局数 M 20000

p_i 收敛图(实线 = 解析递推;圆点 = 蒙特卡洛频率;点离线越近,大数定律越"显灵")

其中一局的投篮序列(实心 = 命中继续,空心 = 未中换人 —— 看球怎么"黏"在准的人手里)

(1) 第 2 次是甲的概率 p₂

–

(2) 极限 p∞ = (1−p乙)/(2−p甲−p乙)

–

(3) 前 16 次甲投篮次数期望 E(Y)

–

蒙特卡洛 vs 解析(p₁₀ 偏差)

–

解释

这是一条马尔可夫链:下一次谁投,只由这一次的结果决定。全概率公式给出递推: p_i+1 = 0.6·p_i + (1−0.8)·(1−p_i) = 0.4·p_i + 0.2 第 (1) 问代 p₁ = 0.5:p₂ = 0.4。递推的不动点满足 p* = 0.4p* + 0.2 → p* = 1/3, 构造等比数列 {p_i − 1/3}(公比 0.4): p_i = 1/3 + (1/6)·(2/5)ⁱ⁻¹ 初始的"公平"以每步 ×0.4 的速度被遗忘 —— 五步之后就几乎只剩 1/3。直觉版本:乙命中率高,球一到乙手里就容易连庄;甲拿球更容易"一投就丢"。长期看,甲只分到 1/3 的出手权 —— 公平的开局挡不住不公平的规则。第 (3) 问逐项求和: E(Y) = Σp_i = n/3 + (5/18)·(1 − (2/5)ⁿ)

变式追问:把两人命中率对调(甲 0.8、乙 0.6)——极限会翻成 2/3 吗?拖一拖验证。再把 p₁ 拖到 1(甲必先投):你会看到前几个点抬高了,但极限纹丝不动—— 马尔可夫链的稳态只认转移规则,不认出发点。蒙特卡洛点的抖动随 M 增大按 1/√M 收窄, 这正是大数定律在屏幕上的样子。