引擎 #13 · 球形机器人跳跃(2026 广东 T14)

题目

一种球形机器人跳跃原理如图:水平横轴过球心 O 与外壳固定,外壳上两挡板位于过 O 的水平线上。两质量均为 m = 1 kg 的摆锤由长均为 R = 0.4 m 的轻绳悬挂于 O 点。初始时刻, 两摆锤同时以水平初速度 v₀ = 4 m/s 从最低点向相反方向摆动,直至与两挡板碰撞 (碰撞时间极短),随后带动外壳以共同速度竖直向上运动。机器人到达最高点后落回地面瞬间, 外壳立即静止,两摆锤速度不变、与挡板分离继续向下摆动。机器人(含摆锤)总质量 M = 4 kg,g 取 10 m/s²,忽略空气阻力,摆锤可视为质点。求:
(1) 摆锤与挡板碰撞后瞬间,机器人的动能 E_k;
(2) 机器人外壳上升的最大高度 h;
(3) 从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失 ΔE。

※ 2026 年高考广东卷第 14 题(原题数值)。

先想一想,再动手

两摆锤摆到挡板时,速度都是竖直向上的 2√2 ≈ 2.8 m/s。碰撞后, 机器人整体起跳的速度是——

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实验台

摆锤初速度 v₀ 4.00 m/s

摆长 R 0.40 m

单个摆锤质量 m(总质量恒 4 kg) 1.00 kg

跳跃过程(摆动 → 碰挡板 → 整体起跳 → 落地外壳静止 → 摆锤继续下摆)

能量流(实时;损失只发生在两个瞬间:碰撞、落地)

(1) 碰后机器人动能 E_k

– J

(2) 外壳上升最大高度 h

– m

(3) 机械能损失 ΔE

– J

起跳速度 u(动量守恒)

– m/s

解释

三步拆解,每步用的守恒律不同: 摆动(机械能守恒)→ 碰撞(动量守恒,动能不守恒)→ 起跳(机械能守恒) ① 摆到挡板:½mv₀² = ½mv₁² + mgR → v₁ = 2√2 m/s(竖直向上); ② 碰撞极短、完全非弹性:2m·v₁ = M·u → u = 2×2√2/4 = √2 ≈ 1.4 m/s, E_k = ½Mu² = 4 J; ③ h = u²/2g = 0.1 m。
第 (3) 问最省力的做法是只盯两个"急刹车"瞬间(其余阶段机械能守恒): 碰撞损失 = ½(2m)v₁² − ½Mu² = 8 − 4 = 4 J; 落地外壳"急停"损失 = ½(M−2m)u² = 2 J。合计 ΔE = 6 J。

变式追问:把摆锤质量 m 拖大(总质量仍 4 kg)—— 摆锤占比越大,碰撞时"摊薄"越少,u 和 h 都变大;m = 1.5 kg 时跳多高? 再把 v₀ 拖到 2 m/s(v₀² < 2gR),摆锤根本够不着挡板,机器人原地不动 —— 起跳是有门槛的。