引擎 #29 · 双曲线定义与渐近线(2022 全国甲卷)

题目

双曲线 x²/a² − y²/b² = 1,题面取 a²=4, b²=5(即 a=2, c=3, 离心率 e=3/2)。 P 是右支上任意一点,F₁、F₂ 是左右焦点。问:|PF₁| − |PF₂| 等于多少?渐近线是哪两条?

※ 蓝本:2022 年全国甲卷第 14 题(由渐近线与离心率互求)。定义:||PF₁|−|PF₂|| = 2a = 4,渐近线 y = ±(b/a)x = ±(√5/2)x。

先想一想,再动手

P 沿右支从顶点滑向远方,|PF₁| 和 |PF₂| 都在变大。它们的差 |PF₁|−|PF₂| 会怎样?

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实验台

a²(实轴参数)4

b²(虚轴参数)5

P 的位置参数 t 1.0

右支上 P=(a·cosh t, b·sinh t) 与两条焦半径(虚线=渐近线 y=±(b/a)x;拖 t 看差值表盘纹丝不动)

|PF₁|(到左焦点)

–

|PF₂|(到右焦点)

–

|PF₁| − |PF₂| vs 2a

–

离心率 e = c/a · 渐近线斜率 b/a

–

解释

这就是双曲线的第一定义:到两定点距离之差的绝对值为常数 2a 的点的轨迹。 |PF₁| − |PF₂| = 2a = 4(P 在右支) 两条焦半径都在变,但差被"锁死"。代数上可以用焦半径公式验证:右支上 |PF₁| = a + ex₀,|PF₂| = ex₀ − a,相减恰好 2a,与 x₀ 无关。

渐近线:令方程右边为 0,x²/a² − y²/b² = 0 拆成两条直线 y = ±(b/a)x = ±(√5/2)x ≈ ±1.118x c² = a² + b² = 9,c=3,e = c/a = 3/2。

变式追问:把 b² 拉大 —— 渐近线张角变大、e 变大,但 |PF₁|−|PF₂| 依旧 = 2a, 定义只认 a 不认 b;把 t 推到 ±2(远端),两条焦半径几乎平行于渐近线,差仍是 4。