引擎 #16 · 斜面梯度磁场双棒(2026 河南 T15)

题目

与水平面成 θ = 37° 的粗糙导轨,间距 L = 0.5 m,沿导轨向下建 x 轴。 x<0 区:磁场垂直导轨面向下,B₁ = 0.8 T;x≥0 区:磁场垂直导轨面向上, B₂ = 0.4 + 0.8x(T)。U 形框 cdef(质量 m₂ = 0.15 kg,三边长 0.5 m, 金属棒 de 阻值 R₂ = 0.2 Ω,cd、ef 绝缘)静置,c、f 与分界线重合。金属棒 ab(m₁ = 0.05 kg,R₁ = 0.2 Ω)在 B₁ 区。当 ab 速度为零时, U 形框恰好不下滑。各处动摩擦因数相同,最大静摩擦等于滑动摩擦,g 取 10 m/s²。
(1) 求动摩擦因数 μ;
(2) 若要保持 U 形框静止,求 ab 在 B₁ 中沿导轨向下运动速度的最大值;
(3) 若 ab 从 x = −0.25 m 处获得沿导轨向下的初速度 v₀ = 4 m/s, 与 U 形框发生完全非弹性碰撞,求碰后 U 形框的最大位移。

※ 2026 年高考河南卷第 15 题(压轴,原题数值)。

先想一想,再动手

"ab 速度为零时框恰好不下滑"意味着 μ = tan37° —— 对任何沿斜面下滑的东西, 摩擦恰好抵消重力分量。那么 ab 冲向 U 形框的这 0.25 m,它的运动是——

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实验台

ab 初速度 v₀ 4.00 m/s

出发位置 x₀ -0.25 m

B₁ 0.80 T

导轨平面(向右 = 沿斜面向下;× = B₁ 向下,⊙ = B₂ 向上且越往右越强)

v–x 图像(本题的灵魂:两段直线 + 碰撞竖直跳变 —— dv/dx 是常数!)

(1) μ = tan37°(恰不下滑给出)

0.75

碰撞前 ab 速度 v₁ / 碰后共速 v₂

–

(2) 保框静止的 ab 最大速度

– m/s

(3) 碰后 U 形框最大位移

– m

解释

第 (1) 问是全题的钥匙:恰不下滑 → μ = tan37° = 0.75 —— 从此每个沿斜面滑动的物体,重力分量都被摩擦精确抵消,安培力成了唯一主角。但"合力只剩安培力"不等于匀速:F = B₁²L²v/R 总跟着 v 缩水, m·dv/dt = −(B₁²L²/R)v → dv/dx = −B₁²L²/(mR) = 常数! v–t 是指数衰减,v–x 却是一条直线(动量定理配电荷量:m₁Δv = B₁L·q = B₁²L²Δx/R)。 0.25 m 恰好减掉 2 m/s:v₁ = 2 m/s;完全非弹性碰撞 v₂ = m₁v₁/(m₁+m₂) = 0.5 m/s。
碰后进入 B₂ 区,双棒同速还有电流吗?有!B₂ = 0.4+0.8x 有梯度, ab 与 de 相距 0.5 m,两处磁场恒差 ΔB = 0.4 T: EMF = ΔB·L·v, dv/dx = −(ΔB·L)²/[R(m₁+m₂)] = −0.5 /m 又是一条直线:从 0.5 m/s 滑到 0,位移 = 1 m。第 (2) 问:框静止要求 de 上的安培力 ≤ m₂g sinθ + μm₂g cosθ = 1.8 N → v_max = 4.5 m/s。

变式追问:把 B₁ 拖大 —— v–x 第一段更陡,v₁ 更小;拖小 v₀ 到 2, ab 会在半路恰好停住(重力与摩擦平衡,停了就不再动)。若把 v₀ 抬过 v_max(4.5 m/s),U 形框在碰撞前就会被推走 —— 本页会拦截并提示, 这正是第 (2) 问存在的意义。