引擎 #28 · 等比数列求和(2023 新课标Ⅱ卷)

题目

等比数列 {aₙ} 首项 a₁、公比 q,前 n 项和 Sₙ = a₁(1−qⁿ)/(1−q)(q≠1)。题面取 a₁=1, q=0.9: 问 S₂₀ 是多少?当 n→∞ 时,Sₙ 会冲向无穷,还是停在某个"天花板"?

※ 蓝本:2023 年新课标Ⅱ卷第 8 题(由 S₄、S₆ 关系求 S₈,核心即 Sₙ 公式)。|q|<1 时 S∞ = a₁/(1−q) = 10。

先想一想,再动手

a₁=1, q=0.9,每项都是正数,加的项越来越多。Sₙ 最终会怎样?

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实验台

首项 a₁ 1

公比 q 0.90

项数 n 20

Sₙ 累加轨迹(虚线=天花板 a₁/(1−q),仅 |q|<1 存在;把 q 推过 1 看轨迹起飞)

Sₙ(公式)

–

Sₙ(逐项累加)

–

无穷和 S∞ = a₁/(1−q)

–

距天花板还差

–

解释

错位相减一次推平公式:Sₙ − q·Sₙ = a₁ − a₁qⁿ,所以 Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) 题面 a₁=1, q=0.9:S₂₀ = (1−0.9²⁰)/0.1 ≈ 8.784。关键在 qⁿ 这一项:|q|<1 时 qⁿ→0,于是 S∞ = a₁/(1−q) = 1/0.1 = 10 "无限个正数相加必冲无穷"是最经典的直觉陷阱 —— 项缩水比累加更快时,总和被封顶。芝诺追乌龟追的就是这道题。

变式追问:把 q 拖到 1.1(天花板消失,轨迹起飞指数爆炸); 拖到 −0.9(轨迹上下振荡着收敛到 a₁/(1−q) ≈ 0.53); n 拉满 50,看 S₅₀ 与 10 的差已不足 0.006。