引擎 #26 · 过点作 eˣ 的切线(2021 新高考Ⅰ卷)

题目

若过点 (a, b) 可以作曲线 y = eˣ 的两条切线,则点 (a, b) 需满足什么条件?

※ 2021 年新高考Ⅰ卷第 7 题(原题;答案 0 < b < eᵃ)。切线条数 = 方程根的个数,拖点亲手数。

先想一想,再动手

过点 (1, 1) 能作 y = eˣ 的几条切线?(提示:e¹ ≈ 2.72,点在曲线下方)

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实验台

点的横坐标 a 1.0

点的纵坐标 b 1.0

y = eˣ 与过 (a,b) 的全部切线(绿色区域 = "恰好两条"的地带 0<b<eᵃ;拖点穿越边界看条数跳变)

切线条数(解析判据)

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判据 h(t)=eᵗ(a−t+1) 的最大值 eᵃ

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区域判定

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切点横坐标(数值求根)

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解释

在 t 处的切线:y = eᵗ(x − t) + eᵗ。它过 (a,b) 当且仅当 h(t) = eᵗ(a − t + 1) = b 切线条数 = 这个方程根的个数。求导 h'(t) = eᵗ(a−t):h 先增后减,在 t=a 处取最大值 eᵃ, 且 t→−∞ 时 h→0⁺、t→+∞ 时 h→−∞。于是: 0 < b < eᵃ ⟺ 恰两条;b=eᵃ 或 b≤0 ⟺ 一条;b > eᵃ ⟺ 零条 (1,1):0 < 1 < e ⟹ 两条 ✓。绿色地带就是"两条切线俱乐部": 曲线下方、x 轴上方 —— 从这里"仰望"指数曲线,左右各能搭上一条。

变式追问:把 b 拖到 0 以下(俱乐部楼下)—— 只剩一条; 拖到曲线上方(b > eᵃ)—— 一条都作不出。边界 b=eᵃ 恰好是点落在曲线上,切线唯一。