引擎 #21 · 椭圆与离心率(2024 新课标Ⅰ卷)

题目

已知椭圆 C:x²/a² + y²/b² = 1(a > b > 0),点 A(0, 3) 和 P(3, 3/2) 为 C 上两点。
(1) 求 C 的离心率;
(2) 若过 P 的直线 l 交 C 于另一点 B,且 △ABP 的面积为 9,求 l 的方程。

※ 2024 年高考新课标Ⅰ卷第 16 题(原题数值)。数学引擎双路对账:焦半径几何定义 vs 坐标数值;面积韦达闭式 vs 鞋带公式。

先想一想,再动手

椭圆上有一个动点 Q,把它从长轴端点拖到短轴端点,Q 到两个焦点的距离之和会——

🔒 提交预测后,下方实验台才会解锁

实验台

a²(长半轴平方) 12.0

b²(短半轴平方) 9.0

动点 Q 的参数角 t 60 °

第(2)问:过 P 直线的斜率 k 0.50

椭圆与焦半径(两段彩线之和显示在左上角 —— 盯住它;A、P 落在椭圆上时亮绿)

第(2)问:面积 S 随斜率 k 的曲线(与 S=9 水平线的交点就是答案;拖 k 滑块把三角形调到 9)

(1) 离心率 e = c/a

–

焦半径之和 |QF₁|+|QF₂|

–

题面判定(A、P 是否在椭圆上)

–

(2) 当前 △ABP 面积 / S=9 的斜率解

–

解释

椭圆的定义就是那根绳子:到两焦点距离之和恒为 2a —— 实验里两段彩线此消彼长, 加起来纹丝不动。第 (1) 问用两个点"钉"出椭圆: A(0,3) 在椭圆上 ⇒ b = 3;P(3, 3/2) 代入 ⇒ 9/a² + 1/4 = 1 ⇒ a² = 12 于是 c² = a² − b² = 3,离心率 e = c/a = √3/(2√3) = 1/2。
第 (2) 问不必硬解:S(k) 曲线与 S = 9 的水平线恰有两个交点 —— k = 1/2(直线 y = x/2,B(−3, −3/2))和 k = 3/2(直线 y = 3x/2 − 3,B(0, −3)), 与解析(联立 + 韦达定理 + 弦长×距离)完全一致。面积公式用鞋带(向量叉积)最稳:S = ½|AP × AB|。

变式追问:把 b² 拖小(椭圆压扁)—— 离心率怎么走?(b→0 时 e→1,椭圆退化成线段; a²=b² 时 e=0,是圆)。再看 S(k) 曲线:为什么 k 很大时面积趋于一个定值? (提示:直线越陡,B 越贴着 P 的"对径点"走)。