引擎 #27 · 三次函数的极值点(2024 新课标Ⅰ卷)

题目

设函数 f(x) = (x − r₁)²(x − r₂)(r₁ < r₂)。题面取 r₁=1, r₂=4, 即 f(x) = (x−1)²(x−4)。问:f 的极大值点与极小值点各在哪里?

※ 蓝本:2024 年新课标Ⅰ卷第 10 题 f(x)=(x−1)²(x−4)。答案:x=1 极大、x=3 极小。二重根 r₁ 恰好既是零点又是极值点。

先想一想,再动手

x = 1 是 f(x)=(x−1)²(x−4) 的二重零点。它是不是极值点?

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实验台

二重根 r₁ 1.0

单根 r₂ 4.0

f(x)=(x−r₁)²(x−r₂) 与导数符号带(红点=极大 · 绿点=极小;把 r₁ 拖向 r₂ 看两极值点相撞湮灭)

极大值点(解析)

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极小值点(解析)x=(r₁+2r₂)/3

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极小值 f 值

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数值扫描(导数变号点)

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解释

求导用乘积法则再提公因式: f'(x) = 2(x−r₁)(x−r₂) + (x−r₁)² = (x−r₁)·[3x − (r₁+2r₂)] 两个变号点:x = r₁ 与 x = (r₁+2r₂)/3。题面 r₁=1, r₂=4:x=1 与 x=3。符号表:x<1 时 f'>0(升),1<x<3 时 f'<0(降),x>3 时 f'>0(升)—— 所以 x=1 是极大值点(而且 f(1)=0,零点与极值点合体),x=3 是极小值点(f(3)=−4)。

二重零点的几何直觉:曲线在 x=r₁ 处"碰地反弹"不穿过 x 轴 —— 碰到又弹回,天然就是极值。

变式追问:把 r₁ 拖到 3 与 r₂=... 重合附近 —— 两个极值点间距 (2/3)(r₂−r₁) 收缩到 0, 三重根处极值湮灭,只剩一个拐点,曲线一路单调穿过。