引擎 #24 · 信道三次传输(2023 新课标Ⅱ卷)

题目

信道传输信号 0 和 1:发送 0 时收到 1 的概率为 α(收到 0 的概率 1−α); 发送 1 时收到 0 的概率为 β。各次传输相互独立。 单次传输:发送一次,按收到的信号译码; 三次传输:同一信号重复发送 3 次,按收到的信号中出现次数多的译码(多数表决)。比较发送 1 时,两种方案译码为 1 的概率。

※ 2023 年高考新课标Ⅱ卷第 12 题(多选,原题模型)。数值第二路径 = 蒙特卡洛发报。

先想一想,再动手

发送 1,单次传输出错的概率是 β = 0.2。改用"发三次、多数表决",出错概率会——

🔒 提交预测后,下方实验台才会解锁

实验台

发 1 收 0 的概率 β 0.20

蒙特卡洛发报次数 M 20000

错误率对比曲线(横轴 β;下方曲线 = 三次多数表决;圆点 = 蒙特卡洛实测)

单次传输错误率(=β)

–

三次表决错误率 3β²(1−β)+β³

–

蒙特卡洛实测(三次表决)

–

纠错增益(错误率降为原来的)

–

解释

三次表决要出错,必须至少错两次: P(错) = C(3,2)β²(1−β) + β³ = 3β²(1−β) + β³ β=0.2 时 = 3×0.04×0.8 + 0.008 = 0.104 —— 差不多减半。要点在于 β<0.5:单次多半是对的,"多数"就大概率站在正确一边; 重复不是增加出错机会,而是让偶然的错误被票数淹没。这正是通信里"重复编码"纠错的原理。

变式追问:把 β 拖到 0.45(信道很差)——两条曲线几乎贴上,表决优势消失; 如果 β>0.5 会怎样?(曲线会交叉:表决反而放大错误 —— 多数人都错时,民主帮倒忙。)