引擎 #18 · 平行板往复加速(2025 四川 T13)

题目

真空中两块较大的平行金属板,板间距 d = 0.2 m,下极板接地,板间匀强电场大小恒为 E = 1000 V/m(方向向下)。质量 m = 2×10⁻³ kg、电荷量 q = 2×10⁻⁵ C (q>0)的金属微粒,从两板中央 O 点由静止释放。微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变, 碰撞后电性与极板相同、电荷量绝对值不变。不计微粒重力。求:
(1) 微粒第一次到达下极板所需时间;
(2) 微粒第一次从上极板回到 O 点时的动量大小。

※ 2025 年四川卷第 13 题(原题为字母表达,本页取教学数值;a = qE/m = 10 m/s²)。

先想一想,再动手

微粒在两板间被弹来弹去(碰撞不损机械能)。它的运动会是——

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实验台

场强 E 1000 V/m

板间距 d 0.20 m

观察程数 N 5

板间剖面(微粒身上的 ± 号 = 当前电性,每次碰板"变色反转"—— 电场力因此永远顺着运动方向)

v–t 图像(锯齿越咬越大;虚线 = 各程末速率包络 √1:√3:√5:…)

(1) 首达下极板时间 t₁ = √(md/qE)

– s

(2) 首次从上板回 O 的动量 p = 2√(mqEd)

– kg·m/s

各程末速率(阶梯)

–

速率比验证

1 : √3 : √5 : √7 : …

解释

钥匙在"碰撞后电性与极板相同":微粒一挨板就换上一身同号电荷被排斥弹开, 电场力于是永远与运动方向相同 —— 这不是皮球,是一台静电加速器。每一程动能都增加 qEd(第一程半程 qEd/2),末速率呈 v_n = √((2n−1)·qEd/m) → 1 : √3 : √5 : √7 … 第 (1) 问:d/2 = ½at₁²,a = qE/m → t₁ = √(md/qE) = 0.14 s; 第 (2) 问:回到 O 时已走过 d/2 + d + d/2 = 2d,动能定理 ½mv² = qE·2d: p = m·v = 2√(mqEd) ≈ 5.7×10⁻³ kg·m/s (注意每程电荷都反号,电场力做的功全程为正 —— 这正是"电性反转"的妙处。)

变式追问:如果去掉"电性反转"(碰板只弹回、电荷不变)—— 电场力就会一半路程做正功一半做负功,微粒在下半区往返,变成周期运动, 这就是预测里"像皮球"的那个世界。两种规则,一字之差,天壤之别。