引擎 #09 · 木板与机器人(2026 真题)

题目

质量为 4 kg 的木板上放有一个质量为 1 kg 的机器人,木板始终受到水平向右、大小为 5 N 的恒力作用。初始时木板与机器人一起以 1 m/s 的速度沿水平地面向右 匀速运动。机器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为 1 m/s 的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上提起,2 s 后放回木板,同时夹爪缩回, 机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。g 取 10 m/s²,机器人可视为质点, 机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求:
(1) 机器人被提起的 2 s 内,木板位移的大小;
(2) 从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中,摩擦力对机器人所做的功。

※ 2026 年高考真题第 15 题(原题数值)。注意:题目没有给机器人与木板间的摩擦系数 μ₂ —— 做完实验你就知道为什么敢不给。

先想一想,再动手

提起的 2 s 内木板会加速(压力变小,地面摩擦变小)。放回瞬间:木板 1.5 m/s、机器人 1 m/s。先猜:两者最终相对静止时的共同速度是——

🔒 提交预测后,下方实验台才会解锁

实验台

机器人–木板摩擦系数 μ₂(题目没给!) 0.20

提起时长 t₁ 2.0 s

夹爪(机器人)水平速度 v_r 1.00 m/s

侧视图(木板足够长,板面纹理随板移动;红箭头 = 机器人所受摩擦力;▲ = 板上标记点)

v–t 图像(深线 = 木板,浅线 = 机器人;两条竖直虚线 = 放回时刻 / 达到共速)

(1) 提起 t₁ 内木板位移 x₁

– m

最终共同速度 v共

– m/s

(2) 摩擦力对机器人做的功

– J

达到共速用时 t₂ / 相对滑移 Δs

–

解释

第 (1) 问常规:初始匀速给出地面摩擦系数 μ₁ = F/(Mg) = 5/50 = 0.1; 提走机器人后压力变小,木板 a = (5 − 0.1×40)/4 = 0.25 m/s², 2 s 位移 x₁ = 1×2 + ½×0.25×4 = 2.5 m,末速 1.5 m/s。
第 (2) 问的钥匙藏在"初始匀速"里 —— 放回后,恒力 5 N 与地面摩擦 μ₁(M+m)g = 5 N 恰好抵消,系统合外力为零 → 动量守恒: v共 = (4×1.5 + 1×1)/5 = 1.4 m/s 摩擦力对机器人做的功用动能定理: W = ½×1×(1.4² − 1²) = 0.48 J。动量守恒的条件从来不是"没有外力",而是"合外力为零" —— 这正是本题的考眼。

为什么题目敢不给 μ₂?回实验台把 μ₂ 从 0.05 拖到 0.5 —— v共恒为 1.4、W 恒为 0.48 J,纹丝不动; μ₂ 改变的只有达到共速的快慢(t₂)和板上蹭出的痕迹长短(Δs)。结论不依赖 μ₂,题目自然不用给。
变式追问:把夹爪速度 v_r 拖到 2 m/s(机器人比板快)—— 摩擦力方向反转,机器人反过来推着木板加速,v共 = (4×1.5+1×2)/5 = 1.6 m/s。先猜再验证。