引擎 #23 · 二项分布(独立重复试验)

题目

某射手每次射击命中的概率为 p = 0.5,独立重复射击 n = 10 次, 命中次数 X ~ B(n, p)。(1) 求恰好命中 5 次的概率;(2) 求 X 的期望与方差; (3) 命中次数"最可能"是几次?"最可能"的概率有多大?

※ 独立重复试验/二项分布:近五年高考分布列大题的地基。数值第二路径 = 蒙特卡洛重复实验。

先想一想,再动手

p=0.5 投 10 次,"恰好命中 5 次"是最可能的结果。它的概率大约是——

🔒 提交预测后,下方实验台才会解锁

实验台

试验次数 n 10

单次命中率 p 0.50

蒙特卡洛组数 M 20000

分布柱状图(空心 = 理论 C(n,k)p^k(1−p)^(n−k);实心 = M 组实验频率)

(1) P(X = 众数 k*)

–

(2) 期望 E(X)=np / 方差 D(X)=np(1−p)

–

蒙特卡洛频率(k*)

–

样本均值(应≈np)

–

解释

"最可能"不等于"很可能": P(X=5) = C(10,5)·0.5¹⁰ = 252/1024 ≈ 24.6% 众数只是柱状图里最高的那根,但 4 次(20.5%)和 6 次(20.5%)紧随其后 —— 概率被"摊"在均值附近一小片,而不是堆在一根柱子上。期望 E(X)=np=5,方差 D(X)=np(1−p)=2.5。

变式追问:把 n 拖到 30 —— 柱状图轮廓越来越像上一个实验的钟形曲线 (二项逼近正态,中心极限定理的雏形);把 p 拖到 0.9,分布明显左偏,众数贴向 n。