引擎 #14 · 空气垫气室(2026 广东 T13)

题目

空气垫是由多个独立气室构成的包装材料。充气前气室内没有气体;在室温 T₀ = 300 K、大气压 p₀ = 1.0×10⁵ Pa 下,将体积为 V₀ 的气体通过单向阀充入 10 个气室(忽略气道气体),此时每个气室均为圆柱体,横截面半径 r、长度 h = 0.2 m。当气室受挤压变形时,横截面变成"跑道"形(两端是直径为 d 的半圆), 且气室长度、横截面周长均保持不变。气体视为理想气体,充气及挤压过程温度不变。
(1) 求充气后未挤压时气室中的压强 p₁;
(2) 求挤压变形后气室中的压强 p₂;
(3) 已知压强超过 p_c = 3.0×10⁵ Pa 时气室会爆破。若挤压变形后体积不变、室温升高,求气室不爆破的最高室温 T_c。

※ 2026 年高考广东卷第 13 题(原题为字母表达,本页取教学数值,公式同原题)。

先想一想,再动手

挤压气室:截面从圆变成"跑道"形,但周长没变、气室长度也没变。气室里的压强会——

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实验台

充入气体量 V₀ 10.0 L

气室截面半径 r 3.00 cm

挤压程度 d/2r(1 = 未变形) 0.70

气室截面(周长在整个挤压过程严格不变 —— 盯住"周长"和"面积"两个读数)

p–V 状态图(单个气室;沿等温双曲线滑动 → 等容线竖直升温)

(1) 充气后压强 p₁ = p₀V₀/(10πr²h)

– kPa

(2) 挤压后压强 p₂ = p₁·r²/[d(r−d/4)]

– kPa

(3) 不爆破最高室温 T_c = T₀·p_c/p₂

– K

截面积变化(周长不变!)

–

解释

这题的杀手锏是一条几何定理 —— 等周定理:周长相同的平面图形中,圆的面积最大。跑道形周长 = πd + 2s = 2πr(不变),解出直段 s = π(r − d/2),面积 A′ = πd²/4 + sd = πd(r − d/4) < πr²(当 d < 2r) 周长没变,面积却缩了 —— 体积变小,等温压缩,玻意耳定律给出: p₂ = p₁·r²/[d(r − d/4)] 第 (1) 问同样是玻意耳:p₀V₀ = p₁·10πr²h; 第 (3) 问变形锁死后是等容过程,盖-吕萨克(查理)定律:p₂/T₀ = p_c/T_c → T_c = T₀·p_c/p₂。

变式追问:把挤压程度拖到 0.4(压得很扁)—— 面积缩到多少?p₂ 蹿到多高? 什么样的 d 会让 p₂ 直接超过 p_c(不用升温就爆)? p–V 图上,等温线是双曲线、等容升温是竖直线 —— 这两根线正是热学大题的"坐标语言"。